Как нужно вычислять

Школьники привыкли к точным вычислениям. Это иногда приводит к ненужному усложнению расчета, делает его долгим и трудным. Обиднее всего, если в конце приходится округлять результат и отбрасывать много лишних цифр.

Чтобы избежать потерь времени, полезно заранее, до получения ответа, оценить погрешность, с которой он будет вычислен. В пределах этой погрешности можно округлять некоторые числа в промежуточных расчетах. Например, если нужно умножить 16 на 5987 и известно, что результат будет иметь погрешность не менее 5%, то можно умножать 16 на 6000 (это гораздо легче, а ошибка округления составляет около 0,2% и не искажает результат).

При вычислении погрешностей излишняя точность просто мешает. Например, если ширина прямоугольника (17,6±0,1) м, а длина (46,4±0,2) м, то относительная погрешность вычисления площади равна 0,1/17,6+0,2/46,4. Если приводить дроби к общему знаменателю, получится величина 51/5104, которую потом придется умножать на величину площади, чтобы получить абсолютную погрешность. Это долго и не нужно. Грубо оценить погрешности можно так:

Более точное вычисление: 0,57% +0,43% = 1% (тот же результат). Величина площади 17,6·46,4=816,64 м ² имеет погрешность 8 м ², поэтому результат можно округлить до (817±8) м ². Значит, сотые доли квадратного метра можно было не вычислять, но десятые доли были нужны для правильного округления (не зная их, мы получим (816±8) м ², что, впрочем, тоже не очень плохо при таких погрешностях).

Для малых величин 0< <<1 справедливы следующие приближенные равенства:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Погрешности всех этих равенств имеют порядок ² это очевидно в (12) и (13). То есть если ≅1%, то ошибка, которую вносят упрощенные вычисления по формулам (12)—(17), не превышает 0,1%.

Пример расчета.

. Проверим, сколь велика ошибка вычислений: 9,92 = (10 – 0,1)2 = 102 – 2·10-0,1+0,12 =100—2+0,01==98,01. Ошибка меньше, чем 0,1%.

Выводы. Заранее оценив погрешность результата, можно облегчить вычисления.